Apolonio fue un matemático y astrónomo griego nacido en Perge, Grecia, en el 262 a.c. Llegó a ser reconocido como «El gran geómetra» por sus diversos estudios en el campo de la Geometría. A él debemos el nombre de las diversas curvas cónicas que conocemos: elipse, parábola e hipérbola. Realizó un gran estudio sobre las secciones cónicas. Y además, hizo una recopilación de problemas de tangencias en el que al menos existían 3 elementos, combinando puntos, rectas y circunferencias entre sí. Este tema que aquí tratamos versará sobre ello: las tangencias de Apolonio que tan importantes son para preparar al alumnado de cara a las pruebas de acceso a la Universidad.
En este video te explico, resumidamente, el conjunto de ejercicios de tangencias de Apolonio, divididas en 3 categorías:
- Tangencias «Directas«, es decir, resueltas mediante las propiedades de las tangencias de forma directa.
- Tangencias por Potencia. En un anterior artículo en este portal web, os comenté la importancia de dominar la potencia. Aquí vemos su gran aplicación.
- Tangencias por Inversión. No las veremos en este artículo dado que no suelen entrar en los ejercicios de las pruebas de acceso a la Universidad.
A continuación, te dejo unos videos explicando cada uno de los ejercicios de tangencias que de forma resumida has visto en el video anterior, divididos en las 3 categorías antes mencionadas. Tienes los 12 ejercicios en PDF con su solución al final de este artículo para que puedas practicarlo.
DIRECTA:
Para estos 6 ejercicios solo hay 1 sola solución.
1- Aunque no es una tangencia propiamente dicha, tienes aquí cómo construir una circunferencia a partir de 3 puntos (PPP). Saber que para resolverlo debemos aplicar el lugar geométrico de todos los puntos que cumplen la condición de estar a la misma distancia de otros 2, es decir, hallar mediatrices. Esto va a ayudarte a resolver problemas sucesivos:
2- PPR. En este caso los 3 elementos dados serán: punto, punto, recta. Consiste en trazar una circunferencia que pase por los 2 puntos dados y sea tangente a la recta dada. En el video que visualizarás a continuación verás 2 ejercicios con estos 3 elementos. La diferencia entre ellos estriba en que en uno de ellos el punto pertenece a la recta.
3- PRR (punto, recta, recta). Se trata de dibujar una circunferencia que pase por un punto perteneciente a una de las 2 rectas y sea tangente a las 2 rectas que se cortan.
4- RRR (recta, recta, recta). Dadas 3 rectas que se cortan, debemos trazar una circunferencia que sea tangente a las 3.
5- CPP (circunferencia, punto, punto). Conocida una circunferencia y 2 puntos, de los cuales uno de ellos pertenece a la circunferencia, debemos dibujar la circunferencia que pase por los 2 puntos y sea tangente a la circunferencia dada por dicho punto.
POTENCIA:
Para resolver estos casos, te facilito una plantilla imprimible con los 6 pasos a seguir para solucionarlos. En el video te explico cómo funciona la plantilla. Te aseguro que si te guías por estos sencillos pasos, no tendrás ningún problema para realizar las actividades propuestas.
A continuación, tienes los 6 ejercicios resueltos. En estos casos, siempre hay más de una solución:
1- CPR (circunferencia, punto, recta). Dada una circunferencia, un punto perteneciente a la misma, y una recta, se pide dibujar las circunferencias tangentes a la recta, a la circunferencia y que pase por el punto dado.
2- CPR (circunferencia, punto, recta). Es parecido al anterior pero en este caso el punto dado pertenece a la recta. Consiste en dibujar las circunferencias tangentes a la circunferencia y recta dada pasando por el punto perteneciente a la recta.
3- CPP (circunferencia, punto, punto). Dada una circunferencia y 2 puntos exteriores, debemos dibujar las circunferencias tangentes a la dada y que pase por los 2 puntos exteriores.
4- CCP (circunferencia, circunferencia, punto). Conocidas dos circunferencias y un punto perteneciente a una de ellas, se pide trazar las circunferencias tangentes a las 2 circunferencias pasando por el punto dado.
5- PRR (punto, recta, recta). Teniendo dos rectas que se cortan y punto se pide trazar las circunferencias tangentes a las 2 rectas y que pasen por el punto dado.
6- PPR (punto, punto, recta). Dada una recta y 2 puntos dibujaremos circunferencias tangentes a la recta pasando por los 2 puntos dados.
Por último, aquí tienes un enlace con más información sobre Apolonio y sobre este tema de tangencias.
EJERCICIOS:
Aquí tienes los 12 ejercicios con su solución para que puedas practicarlos:
