1.1. Propiedades

Cono Recto de Revolución.

Es la superficie cónica producida por una recta que se corta en un punto fijo consigo misma, o lo que es igual, que pasa por un punto invariable contenido en la recta fija o eje.
Si el ángulo formado por la generatriz y eje permanece constante, la superficie cónica se denomina de REVOLUCIÓN.

En la siguiente animación puedes ver cómo se genera un cono recto de revolución.


 

 

PROPIEDADES.

Todas las curvas cónicas son lugares geométricos de puntos cuyas distancias a otros puntos o rectas cumplen una condición o propiedad.

  • Elipse: la suma de distancia de cada uno de sus puntos a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a su eje mayor.
  • Hipérbola: la diferencia de distancia de cada uno de sus puntos a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a su eje mayor.
  • Parábola: cada uno de sus puntos equidista de una recta fija (directriz) y de un punto fijo llamado foco.

En la animación inferior puedes ver cómo se cumple la propiedad en la elipse.

 


 

ELEMENTOS DE UNA CÓNICA.
Todas las curvas cónicas no tienen los mismos elementos; pero los esenciales ,aunque no coincidan en número e importancia, sí son comunes: foco, eje de simetría, directriz y excentricidad. 
  • Eje de simetría: recta o rectas imaginarias en relación a las cuales una figura es simétrica (V1,V2 y A,B)

  • Focos: puntos fijos (F1, F2) situados en el eje de simetría, siendo la distancia entre ellos 2c.

  • Radio vector: el segmento que une cualquier punto de la curva con su foco correspondiente (PF2)
  • Directrices: son las rectas intersección del plano secante con el plano que contiene a la circunferencia de contactoentre el cono y la esfera que siendo tangente a al plano de intersección, se encuentra inscrita en la superficie cónica.

  • Circunferencia principal: iene su centro en el de la curva y su diámetro es igual al eje real.

  • Circunferencias focales: Tienen por centro a los focos y de radio igual al eje real.

  • Excentricidad: es la razón constante de distancia desde un punto P cualquiera al foco y a la directriz correspondiente.
    En la Elipse la excentricidad es siempre menor que la unidad ; en la parábola es igual a la unidad y en la hipérbola es mayor que la unidad

En la siguiente animación puedes ver cómo se generan los elementos de una curva cónica, en este ejemplo te mostramos los de la elipse.

 


 

 

Objetivos

Apolinio de Perga.


   

Geómetra griego (262 - 190 a. C.) describió a las cónicas cono secciones producidas en un cono por un plano de distinta inclinación.
En su obra sobre las secciones cónicas aparecen por primera vez la elipse, parábola e hipérbola.
Gracias a sus estudios las curvas cónicas se pudieron analizar de forma uniforme y sistemática.

CLASIFICACIÓN.

Como las curvas cónicas se generan por un plano secante a un cono recto y de revolución, el la relación entre el ángulo que forme dicho plano con la superficie cónica, y el semiángulo en el vértice del cono (formado por una generatriz y el eje) determinará varias secciones, y por tanto, su clasificación:

  • Circunferencia: el plano secante es perpendicular al eje del cono, se la considera un caso particular de la Elipse.
  • Elipse: el plano secante forma con el eje del cono un ángulo mayor que el semiángulo en el vértice.
  • Hipérbola: el plano secante forma con el eje del cono un ángulo menor que el semiángulo en el vértice.
  • Parábola: el plano secante forma con el eje del cono el mismo ángulo que el semiángulo en el vértice, es decir, es dicho plano es paralelo a una generatriz.

En la animación inferior puedes ver de manera detallada cómo se generan la elipse, hipérbola y parábola.


 

Pregunta Verdadero-Falso
Selecciona la opción que tú creas más acertada.
Radio Vector es todo segmento que une un punto de la curva con los extremos del eje mayor de la misma.
Verdadero Falso     
Las CIRCUNFERENCIAS PRINCIPAL y FOCAL tienen el mismo centro.
Verdadero Falso     
En toda curva cónica la excentricidad es constante
Verdadero Falso     
Pregunta de Elección Múltiple
Cuando el plano sección corta al eje del cono perpendicularmente el resultado es.....
Una Elipse
Parábola
Hipérbola
Circunferencia