4.1. Paralelogramos: Cuadrado y Rectángulo

CUADRADO: es la segunda forma geométrica. El trazado de diagonales y paralelas nos permite crear infinitas formas derivadas. Además de las propiedades mencionadas en el apartado anterior (3.1) en un cuadrado se dan las siguientes relaciones:

 

 

• Si dibujas una diagonal lo descompones en dos triángulos rectángulos isósceles (en la imagen superior ABC y ACD).
• La longitud de la diagonal de un cuadrado es igual al producto de su lado por la raíz cuadrada de 2 ().
• Si le sumas la diagonal al lado obtienes un triángulo isósceles obtusángulo de 135º (en la imagen superior (QAC).
• Si a la diagonal le restas un lado obtienes un triángulo isósceles acutángulo cuyos ángulos iguales serán de 67º 30' (en la imagen superior PAC).

CONSTRUCCIÓN: para dibujar un cuadrado tienes que aplicar los procedimientos seguidos en la construcción de triángulos rectángulos isósceles.

Método Directo:

• Conocido el lado o el radio de la circunferencia inscrita: el diámetro de dicha circunferencia es lado del cuadrado.

• Dada la diagonal o el radio de la circunferencia circunscrita: debes aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados en la construcción de un triángulo rectángulo isósceles conocida la hipotenusa. ten en cuenta la relación que existe entre dicho triángulo y el cuadrado: el diámetro de la circunferencia circunscrita es la hipotenusa y los lados del cuadrado son sus catetos.

 

 

 

Método de los lugares geométricos:

• Conocida la suma de un lado y la diagonal: (imagen superior) debes aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados en la construcción de un triángulo rectángulo isósceles conocida la suma de la hipotenusa y uno de sus catetos.
• Dada la diferencia entre la diagonal y un lado: (imagen superior) debes aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados en la construcción de un triángulo rectángulo isósceles conocida la diferencia entre la hipotenusa y uno de sus catetos (animación del apartado 2.5).

 

 

RECTÁNGULO: Además de las propiedades mencionadas en el apartado anterior (3.1) en un rectángulo se dan las siguientes relaciones:

 

 

• Si dibujas una diagonal lo descompones en dos triángulos rectángulos escalenos.
• Si trazas dos diagonales lo descompones en cuatro triángulos isósceles (dos obtusángulos y otros dos acutángulos).
• Si al lado mayor de un paralelogramo rectángulo ABCD le restamos el lado menor, imagen superior, obtenemos dos triángulos: uno isósceles APD de lados iguales el lado menor de dicho paralelogramo ; y otro triángulo escaleno obtusángulo PBD cuyos lados quedan definidos por el segmento diferencia PB, la diagonal del paralelogramo BD y la base PD del triángulo isósceles anterior, que siempre formará 135º con el segmento diferencia PB.

Como en el caso del cuadrado, si sumas o restas la diagonal y un lado de un rectángulo, obtienes los mismos triángulos, pero los ángulos de éstos no son concretos.

CONSTRUCCIÓN: para dibujar un rectángulo tienes que aplicar los procedimientos seguidos en la construcción de triángulos rectángulos escalenos y triángulos isósceles (acutángulos u obtusángulos).

Método Directo:

• Conocido su lado mayor en verdadera magnitud y posición y la longitud del lado menor: debes aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados en la construcción de un triángulo rectángulo escaleno conocido uno de sus catetos y su altura (hb o hc respectivamente): el lado desigual de un rectángulo se corresponde con la altura del otro lado.
• Conocido uno de sus lados (mayor o menor) en verdadera magnitud y posición y la longitud de su diagonal: recuerda que el lado es un cateto y la diagonal una hipotenusa.
• Dado uno de sus lados (mayor o menor) en verdadera magnitud y posición y el ángulo que forma con la diagonal: debes aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados en la construcción de un triángulo rectángulo escaleno dado uno de sus catetos y el ángulo que forma con la hipotenusa. Recuerda que el lado del rectángulo es el cateto y su diagonal la hipotenusa.

 

 

 

Método de los lugares geométricos:

• Dado su lado mayor en verdadera magnitud y el ángulo que forman las diagonales entre sí: debes aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados en la construcción de un triángulo isósceles conocida la base y su ángulo opuesto.
• Conocida la suma de los lados desiguales (mayor y menor) en verdadera magnitud y posición y la longitud de la diagonal: debes aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados en la construcción de un triángulo rectángulo escaleno conocida la suma de sus catetos y la longitud de la hipotenusa (animación del apartado 2.2).
• Dada la diferencia entre los lados desiguales (mayor y menor) en verdadera magnitud y posición y la longitud de la diagonal: (imagen superior) debes aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados en la construcción de un triángulo rectángulo escaleno conocida la suma de sus catetos y la longitud de la hipotenusa (animación del apartado 2.2).
• Conocida la diferencia entre la diagonal y el lado mayor en verdadera magnitud y posición y la longitud del lado menor: (imagen superior) debes aplicar los conceptos y procedimientos desarrollados en la construcción de un triángulo rectángulo escaleno conocida la diferencia entre sus catetos y la longitud de la hipotenusa (ejercicio resuelto del apartado 2.6).